Принципы неопределенности Гейзенберга являются одной из проблем квантовой механики, однако прежде мы обратимся к развитию физической науки в целом. Еще в конце XVII века Исааком Ньютоном была заложена современная классическая механика. Именно он сформулировал и описал ее основные законы, при помощи которых можно предсказать поведение окружающих нас тел. К концу XIX века эти положения казались нерушимыми и применимыми ко всем законам природы. Задачи физики как науки, казалось, были решены.

Нарушение законов Ньютона и рождение квантовой механики

Но, как выяснилось, на тот момент о свойствах Вселенной было известно существенно меньше, чем казалось. Первым камнем, нарушившим стройность классической механики, стало неподчинение ее законам распространения световых волн. Таким образом, совсем молодая на тот момент наука электродинамика была вынуждена выработать совершенно иной свод правил. А для физиков-теоретиков возникла проблема: как привести две системы к единому знаменателю. Кстати, наука и сегодня работает над ее решением.

Миф о всеобъемлющей ньютоновской механике был окончательно разрушен с более глубоким изучением строения атомов. Британец Эрнест Резерфорд обнаружил, что атом не является неделимой частицей, как считалось ранее, а сам имеет в своем составе нейтроны, протоны и электроны. Более того, их поведение также совершенно не вязалось с постулатами классической механики. Если в макромире гравитация в значительной степени определяет природу вещей, то в мире квантовых частиц она является крайне малой силой взаимодействия. Так были заложены основы квантовой механики, в которой тоже действовали собственные аксиомы. Одним из показательных отличий этих мельчайших систем от привычного нам мира стал принцип неопределенности Гейзенберга. Он наглядно продемонстрировал необходимость отличного подхода к этим системам.

Принцип неопределенности Гейзенберга

В первой четверти XX века квантовая механика совершала свои первые шаги, а физики всего мира лишь осознавали, что же вытекает для нас из ее положений, и какие она открывает перспективы. Немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг свои знаменитые принципы сформулировал в 1927 г. Заключаются принципы Гейзенберга в том, что невозможно просчитать одновременно и пространственное положение, и скорость квантового объекта. Основной причиной этому является тот факт, что при измерении мы уже воздействуем на измеряемую систему, тем самым нарушая ее. Если в знакомом нам макромире мы оцениваем объект, то, бросая на него даже взгляд, мы видим отражение света от него.

Но принцип неопределенности Гейзенберга говорит о том, что хоть в макромире свет никак не влияет на измеряемый объект, а в случае с квантовыми частицами фотоны (или любые другие производные измерения) оказывают значительное влияние на частицу. При этом интересно отметить, что отдельно скорость или отдельно положение тела в пространстве квантовая физика измерить вполне может. Но чем более точными будут наши показания скорости, тем меньше нам будет известно о пространственном положении. И наоборот. То есть принцип неопределенности Гейзенберга создает известные сложности в предсказании поведения квантовых частиц. Буквально это выглядит так: они меняют свое поведение, когда мы пытаемся за ними наблюдать.

Под влиянием успеха научных теорий, особенно ньютоновской теории тяготения, у французского ученого Пьера Лапласа в начале XIX в. выработался взгляд на Вселенную как на полностью детерминированный объект. Лаплас полагал, что должен существовать набор научных законов, которые позволяли бы предсказать все, что может произойти во Вселенной, если только известно полное описание ее состояния в какой‑то момент времени. Например, если бы мы знали положения Солнца и планет, отвечающие какому‑то моменту времени, то с помощью законов Ньютона мы могли бы вычислить, в каком состоянии оказалась бы Солнечная система в любой другой момент времени. В данном случае детерминизм довольно очевиден, но Лаплас пошел дальше, утверждая, что существуют аналогичные законы для всего, в том числе и для поведения человека.

Доктрина научного детерминизма встретила сильное сопротивление со стороны многих, почувствовавших, что этим ограничивается свободное вмешательство Бога в наш мир; тем не менее эта идея оставалась обычной научной гипотезой еще в самом начале нашего века. Одним из первых указаний на необходимость отказа от детерминизма стали результаты расчетов двух английских физиков, Джона Рэлея и Джеймса Джинса, из которых следовало, что горячий объект типа звезды должен все время излучать бесконечно большую энергию. Согласно известным тогда законам, горячее тело должно в равной мере излучать электромагнитные волны всех частот (например, радиоволны, видимый свет, рентгеновское излучение). Это означает, что должно излучаться одинаковое количество энергии и в виде волн с частотами от одного до двух миллионов миллионов волн в секунду, и в виде волн, частоты которых находятся в интервале от двух до трех миллионов миллионов волн в секунду. А поскольку разных частот бесконечно много, полная излучаемая энергия должна быть бесконечной.

Чтобы избавиться от этого явно абсурдного вывода, немецкий ученый Макс Планк в 1900 г. принял гипотезу, согласно которой свет, рентгеновские лучи и другие волны не могут испускаться с произвольной интенсивностью, а должны испускаться только некими порциями, которые Планк назвал квантами. Кроме того, Планк предположил, что каждый квант излучения несет определенное количество энергии, которое тем больше, чем выше частота волн. Таким образом, при достаточно высокой частоте энергия одного кванта может превышать имеющееся количество энергии и, следовательно, высокочастотное излучение окажется подавленным, а интенсивность, с которой тело теряет энергию, будет конечной.

Гипотеза квантов прекрасно согласовалась с наблюдаемыми значениями интенсивности излучения горячих тел, но что она означает для детерминизма, было неясно до 1926 г., когда другой немецкий ученый, Вернер Гейзенберг, сформулировал знаменитый принцип неопределенности. Чтобы предсказать, каким будет положение и скорость частицы, нужно уметь производить точные измерения ее положения и скорости в настоящий момент. Очевидно, что для этого надо направить на частицу свет. Часть световых волн на ней рассеется, и таким образом мы определим положение частицы в пространстве. Однако точность этого измерения будет не выше, чем расстояние между гребнями двух соседних волн, и поэтому для точного измерения положения частицы необходим коротковолновый свет. Согласно же гипотезе Планка, свет невозможно использовать произвольно малыми порциями, и не бывает меньшей порции, чем один квант. Этот квант света внесет возмущение в движение частицы и непредсказуемо изменит ее скорость. Кроме того, чем точнее измеряется положение, тем короче должны быть длины световых волн, а следовательно, тем больше будет энергия одного кванта. Это значит, что возмущение скорости частицы станет больше. Иными словами, чем точнее вы пытаетесь измерить положение частицы, тем менее точными будут измерения ее скорости, и наоборот. Гейзенберг показал, что неопределенность в положении частицы, умноженная на неопределенность в се скорости и на ее массу, не может быть меньше некоторого числа, которое называется сейчас постоянной Планка. Это число не зависит ни от способа, которым измеряется положение или скорость частицы, ни от типа этой частицы, т. е. принцип неопределенности Гейзенберга является фундаментальным, обязательным свойством нашего мира.

Принцип неопределенности имеет далеко идущие следствия, относящиеся к нашему восприятию окружающего мира. Даже по прошествии более пятидесяти лет многие философы так окончательно и не согласились с ними, и эти следствия до сих пор остаются предметом споров. Принцип неопределенности означал конец мечтам Лапласа о научной теории, которая давала бы полностью детерминированную модель Вселенной: в самом деле, как можно точно предсказывать будущее, не умея даже в настоящий момент производить точные измерения состояния Вселенной! Конечно, мы можем себе представлять, что существует некий набор законов, полностью определяющий события для какого‑то сверхъестественного существа, которое способно наблюдать современное состояние Вселенной, никак не возмущая ее. Однако такие модели Вселенной не представляют интереса для нас – простых смертных. Лучше, пожалуй, воспользовавшись тем принципом «экономии», который называется принципом «бритвы Оккама» (У. Оккам /1285‑1349/ – английский философ. Суть принципа «бритвы Оккама»: понятия, не поддающиеся проверке в опыте, должны быть удалены из науки. – прим. ред.) взять и вырезать все положения теории, которые не поддаются наблюдению. Приняв такой подход, Вернер Гейзенберг, Эрвин Шредингер и Поль Дирак в 20‑х годах нашего века пересмотрели механику и пришли к новой теории – квантовой механике, в основу которой был положен принцип неопределенности. В квантовой механике частицы больше не имеют таких определенных и не зависящих друг от друга характеристик, как положение в пространстве и скорость, недоступных для наблюдения. Вместо этого они характеризуются квантовым состоянием, которое представляет собой некую комбинацию положения и скорости.

Квантовая механика, вообще говоря, не предсказывает, что наблюдение должно иметь какой‑то единственный определенный результат. Наоборот, она предсказывает некий ряд разных результатов и дает вероятность каждого из них. Это значит, что, выполнив одно и то же измерение для многих одинаковых систем, начальные состояния которых совпадают, мы бы обнаружили, что в одном числе случаев результат измерения равен А, в другом – Б и т. д. Мы можем предсказать, в скольких примерно случаях результат будет равняться А и Б, но определить результат каждого конкретного измерения невозможно. Таким образом, квантовая механика вносит в науку неизбежный элемент непредсказуемости или случайности. Эйнштейн выступил очень резко против этой концепции, несмотря на ту огромную роль, которую сам сыграл в ее развитии. За огромный вклад в квантовую теорию Эйнштейну была присуждена Нобелевская премия. Но он никогда не мог согласиться с тем, что Вселенной управляет случай. Все чувства Эйнштейна нашли свое выражение в его знаменитом высказывании: «Бог не играет в кости». Однако большинство остальных ученых были склонны принять квантовую механику, потому что она прекрасно согласовалась с экспериментом. Квантовая механика в самом деле является выдающейся теорией и лежит в основе почти всей современной науки и техники. Принципы квантовой механики положены в основу работы полупроводниковых и интегральных схем, которые являются важнейшей частью таких электронных устройств, как телевизоры и электронно‑вычислительные машины. На квантовой механике зиждется современная химия и биология. Единственные области физики, которые пока не используют должным образом квантовую механику, – это теория гравитации и теория крупномасштабной структуры Вселенной.

Несмотря на то что световое излучение состоит из волн, тем не менее, согласно гипотезе Планка, свет в каком‑то смысле ведет себя так, как будто он образован частицами: излучение и поглощение света происходит только в виде порций, или квантов. Принцип же неопределенности Гейзенберга говорит о том, что частицы в каком‑то смысле ведут себя как волны: они не имеют определенного положения в пространстве, а «размазаны» по нему с некоторым распределением вероятности. В квантово‑механической теории используется совершенно новый математический аппарат, который уже не описывает сам реальный мир на основе представлений о частицах и волнах; эти понятия можно теперь относить только к результатам наблюдений в этом мире. Таким образом, в квантовой механике возникает частично‑волновой дуализм: в одних случаях частицы удобно считать волнами, а в других лучше считать волны частицами. Из этого следует один важный вывод: мы можем наблюдать так называемую интерференцию между двумя волнами‑частицами. Гребни волн одной из них могут, например, совпадать со впадинами другой. Тогда две волны гасят друг друга, а не усиливают, суммируясь, как можно было бы ожидать, в более высокие волны (рис. 4.1). Всем известный пример интерференции света – переливающиеся разными цветами радуги мыльные пузыри. Это явление возникает в результате отражения света от двух поверхностей тонкой пленки воды, которая образует пузырь. Белый свет содержит всевозможные длины волн, отвечающие разным цветам. Гребни некоторых волн, отраженных от одной из поверхностей мыльной пленки, совпадают со впадинами волн той же длины, отраженных от второй поверхности пузыря. Тогда в отраженном свете будут отсутствовать цвета, соответствующие этим длинам волн, и отраженный свет окажется разноцветным.

Итак, благодаря возникшему в квантовой механике дуализму частицы тоже могут испытывать интерференцию. Широко известный пример такой интерференции частиц – опыт с двумя щелями в экране (рис. 4.2). Рассмотрим экран, в котором прорезаны две узкие параллельные щели. По одну сторону от экрана со щелями помещен источник света какого‑то определенного цвета (т. е. определенной длины волны). Свет в основном попадает на поверхность экрана, но небольшая его часть пройдет сквозь щели. Далее представим себе экран для наблюдения, установленный по другую от источника света сторону экрана со щелями. Тогда в любую точку экрана для наблюдения будут попадать световые волны из обеих щелей. Но расстояние, пройденное светом через щели от источника до экрана, будет, вообще говоря, разным. Это означает, что волны, прошедшие через щели, попадут на экран в разной фазе: в одних местах они будут ослаблять друг друга, а в других – усиливать. В результате на экране получится характерная картина, составленная из темных и светлых полос.

Удивительно, что в точности такие же полосы возникают при замене источника света источником частиц, скажем, электронов, вылетающих с определенной скоростью (это означает, что им соответствуют волны определенной длины). Описанное явление тем более странно, что при наличии только одной щели никакие полосы не возникают и на экране появляется просто однородное распределение электронов. Можно было бы предположить, что еще одна щель просто увеличит число электронов, попадающих в каждую точку экрана, по на самом деле из‑за интерференции число этих электронов в некоторых местах, наоборот, уменьшается. Если пропускать через щели но одному электрону за раз, то можно было бы ожидать, что каждый из них пройдет либо через одну щель, либо через другую, т. е. будет вести себя так, как будто та щель, через которую он прошел, единственная, и тогда на экране должно возникнуть однородное распределение. Однако на самом деле полосы появляются даже в том случае, когда электроны выпускаются по одному. Следовательно, каждый электрон должен проходить сразу через обе щели!

Явление интерференции частиц стало решающим для нашего понимания структуры атомов, тех мельчайших «кирпичиков», которые рассматриваются в химии и биологии и из которых построены мы сами и все вокруг нас. В начале века считалось, что атомы подобны Солнечной системе: электроны (частицы, несущие отрицательный электрический заряд), как планеты вокруг Солнца, вращаются вокруг расположенного в центре ядра, заряженного положительно. Предполагалось, что электроны удерживаются на орбитах силами притяжения между положительными и отрицательными зарядами аналогично тому, как гравитационное притяжение между Солнцем и планетами не дает планетам уйти с орбит. Это объяснение наталкивалось на следующую трудность: до появления квантовой механики законы механики и электричества предсказывали, что электроны должны терять энергию, а из‑за этого двигаться по спирали к центру атома и падать на ядро. Это означало бы, что атомы, а с ними, конечно, и вся материя должны быстро сколлапсировать в состояние с очень высокой плотностью. Частное решение этой проблемы нашел в 1913 г. датский ученый Нильс Бор. Бор постулировал, что электроны могут двигаться не по любым орбитам, а только по тем, которые лежат на некоторых определенных расстояниях от центрального ядра. Если бы было сделано и предположение о том, что на каждой такой орбите могут находиться только один или два электрона, то проблема коллапса атома была бы решена, потому что тогда электроны, двигаясь по спирали к центру, могли бы лишь заполнить орбиты с минимальными радиусами и энергиями.

Эта модель прекрасно объясняла строение простейшего атома – атома водорода, у которого вокруг ядра вращается всего один электрон. Было, однако, непонятно, как тот же подход распространить на более сложные атомы. Кроме того, предположение об ограниченном числе разрешенных орбит выглядело весьма произвольным. Эту трудность разрешила новая теория – квантовая механика. Оказалось, что электрон, вращающийся вокруг ядра, можно представить себе как волну, длина которой зависит от ее скорости. Вдоль некоторых орбит укладывается целое (а не дробное) число длин волн электрона. При движении по этим орбитам гребни волн окажутся в одном и том же месте на каждом витке, и поэтому волны будут складываться; такие орбиты относятся к боровским разрешенным орбитам. А для тех орбит, вдоль которых не укладывается целое число длин волн электрона, каждый гребень по мере обращения электронов рано или поздно скомпенсируется впадиной; такие орбиты не будут разрешенными.

Американский ученый Ричард Фейнман придумал красивый способ, который дает возможность наглядно представить себе дуализм волна‑частица. Фейнман ввел так называемое суммирование по траекториям. В этом подходе в отличие от классической, неквантовой теории нет предположения о том, что частица должна иметь одну‑единственную траекторию в пространстве‑времени, а наоборот, считается, что частица может перемещаться из А в Б по любому возможному пути. С каждой траекторией связаны два числа: одно из них описывает размеры волны, а другое отвечает ее положению в цикле (гребень или впадина). Чтобы определить вероятности перехода из А в Б, надо сложить волны для всех этих траекторий. Если сравнить между собой несколько соседних траекторий, то их фазы, или положения в цикле, будут сильно различаться. Это значит, что волны, соответствующие таким траекториям, будут почти полностью гасить друг друга. Однако для некоторых семейств соседних траекторий фазы при переходе от траектории к траектории будут мало меняться, и соответствующие им волны не скомпенсируют друг друга. Такие траектории относятся к боровским разрешенным орбитам.

Основываясь на таких представлениях, записанных в конкретном математическом виде, можно было по сравнительно простой схеме вычислить разрешенные орбиты для более сложных атомов и даже для молекул, состоящих из нескольких атомов, которые держатся вместе за счет электронов, чьи орбиты охватывают больше одного ядра. Поскольку строение молекул и происходящие между ними реакции являются основой всей химии и всей биологии, квантовая механика в принципе позволяет предсказать все, что мы видим вокруг себя, с точностью, которую допускает принцип неопределенности. (Правда, на практике расчеты систем, содержащих много электронов, оказываются настолько сложными, что произвести их просто невозможно).

Крупномасштабная структура Вселенной, по‑видимому, подчиняется общей теории относительности Эйнштейна. Эта теория называется классической, потому что в ней не учитывается квантово‑механический принцип неопределенности, который необходимо учитывать для согласования с другими теориями. Мы же не вступаем в противоречие с результатами наблюдений из‑за того, что все гравитационные поля, с которыми обычно приходится иметь дело, являются очень слабыми. Однако, согласно теоремам о сингулярности, о которых говорилось выше, гравитационное поле должно становиться очень сильным по крайней мере в двух ситуациях: в случае черных дыр и в случае большого взрыва. В таких сильных полях должны быть существенными квантовые эффекты. Следовательно, классическая общая теория относительности, предсказав точки, в которых плотность становится бесконечной, в каком‑то смысле сама предрекла свое поражение в точности так же, как классическая (т. е. неквантовая) механика обрекла себя на провал заключением о том, что атомы должны коллапсировать, пока их плотность не станет бесконечной. У нас еще нет полной теории, в которой общая теория относительности была бы непротиворечиво объединена с квантовой механикой, но зато мы знаем кое‑какие свойства будущей теории. О том, что вытекает из этих свойств в отношении черных дыр и большого взрыва, мы поговорим в последующих главах. А сейчас займемся самыми последними попытками объединения наших представлений обо всех других силах природы в одну, единую квантовую теорию.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) - в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, для каждой из которых измеряется либо координата q , либо импульс p . При этом результаты измерений будут случайными величинами, дисперсии которых будут удовлетворять соотношению неопределённостей . Отметим, что, хотя нас интересуют одновременные значения координаты и импульса в данном квантовом состоянии , измерять их у одной и той же частицы нельзя, так как любое измерение изменит её состояние.

В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в г.

Краткий обзор

Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц, приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий d p и d q верно отношение неопределённости.

Отношения неопределённости Гейзенберга - это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана . Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни определённым значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где - постоянная Дирака . В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе . Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

,

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где i , j , k различны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

. Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид: .

Хотя этот принцип и выглядит довольно странным, по своей сути он чрезвычайно прост. В квантовой теории, где положение объекта характеризуется квадратом амплитуды, а величина его импульса - длиной волны соответствующей волновой функции, этот принцип есть не что иное, как просто факт, характерный для волн: волна, локализованная в пространстве, не может иметь одну длину волны. Недоумение вызывается тем, что, говоря о частице, мы мысленно представляем ее классический образ, а затем удивляемся, когда обнаруживаем, что квантовая частица ведет себя не так, как ее классическая предшественница.

Если настаивать на классическом описании поведения квантовой частицы (в частности, если пытаться приписать ей как положение в пространстве, так и импульс), то максимальные возможные точности одновременного определения ее положения и импульса окажутся связанными между собой с помощью удивительно простого соотношения, впервые предложенного Гейзенбергом и получившего название принципа неопределенности:

где - неточности, или неопределенности, значений импульса и положения частицы. Произведение неточностей импульса и положения

оказывается порядка величины постоянной Планка. В квантовой теории в отличие от классической невозможно одновременно локализовать квантовую частицу и приписать ей определенный импульс Поэтому такая частица не может обладать и траекторией в том же смысле, что классическая частица. Мы имеем в виду отнюдь не психологическую неопределенность. Эта неопределенность характеризует природу такого объекта, который не может одновременно обладать двумя свойствами-положением и импульсом; объекта, отдаленно напоминающего шторм в атмосфере: если он простирается на большие расстояния, то дуют слабые ветры; если же он сконцентрирован в небольшой области, то возникает ураган или тайфун.

Принцип неопределенности содержит в удивительно простой форме то, что было так трудно сформулировать, используя волну Шредингера. Если имеется волновая функция с заданной длиной волны или с заданным импульсом, то ее положение является полностью неопределенным, так как вероятности нахождения частицы в различных точках пространства равны между собой. С другой стороны, если частица полностью локализована, ее волновая функция должна состоять из суммы всех возможных периодических волн, так что ее длина волны или импульс оказываются абсолютно неопределенными. Точное соотношение между неопределенностями положения и импульса (которое получается непосредственно из волновой теории и не связано особым образом с квантовой механикой, так как оно характеризует природу любых волн - звуковых волн, волн на поверхности воды или волн, бегущих вдоль натянутой пружины) дается в простой форме принципом неопределенности Гейзенберга.

Вспомним рассмотренную ранее частицу, одномерное движение которой происходило между двумя стенками, расположенными на расстоянии друг от друга. Неопределенность положения такой частицы не превышает расстояния между стенками, так как мы знаем, что частица заключена между ними. Поэтому величина равна или меньше

Положение частицы, конечно, может быть локализовано в более узких пределах. Но если задано, что частица просто заключена между стенками, ее координата х не может выйти за пределы расстояния между этими стенками. Следовательно, неопределенность, или отсутствие

знания, ее координаты х не может превышать величину I. Тогда неопределенность импульса частицы больше или равна

Импульс связан со скоростью по формуле

следовательно, неопределенность скорости

Если частица-электрон и расстояние между стенками равно см. то

Таким образом, если частица с массой электрона локализована в области, размеры которой порядка то говорить о скорости частицы можно лишь с точностью до см/с,

Используя результаты, полученные ранее, можно найти соотношение неопределенности для волны Шредингера в случае частицы, заключенной между двумя стенками. Основному состоянию такой системы соответствует смесь в равных долях решений с импульсами

(В классическом случае электрон мечется от стенки к стенке, причем его импульс, оставаясь все время равным по величине изменяет свое направление при каждом соударении со стенкой.) Так как импульс изменяется от до его неопределенность равна

Из соотношения де Бройля

а для основного состояния

В то же время

Следовательно,

Этот результат можно использовать для оценки наименьшего значения энергии, которым может обладать квантовая система. Ввиду того что импульс системы - неопределенная величина, эта энергия в общем случае не равна нулю, что радикально отличает квантовую систему от классической. В классическом случае энергия рассматриваемой частицы совпадает с ее кинетической энергией, и когда частица покоится, эта энергия обращается в нуль, Для квантовой системы, как было показано выше неопределенность импульса находящейся в системе частицы составляет

Импульс такой частицы нельзя определить точно, так как возможные его значения лежат в интервале шириной Очевидно, если нуль лежит посредине этого интервала (фиг. 127), то импульс будет изменяться по величине в пределах от нуля до Следовательно, минимальный возможный импульс, который можно приписать частице, равен в силу принципа неопределенности

При меньших значениях импульса принцип неопределенности нарушится. Энергию, соответствующую этому импульсу,

можно сравнить с наименьшей энергией, величину которой мы вычислили с помощью уравнения Шредингера, подбирая подходящую стоячую волну между стенками сосуда:

Ценность полученного результата состоит не в численном согласии, а в том, что нам удалось провести грубую оценку величины минимальной энергии, используя лишь принцип неопределенности. Кроме того, нам удалось понять, почему минимальное значение кинетической энергии квантовомеханической системы (в отличие от классической системы) никогда не равно нулю. Соответствующая классическая частица, заключенная между стенками, обладает нулевой кинетической

энергией, когда она находится в покое. Квантовая же частица не может покоиться, если она захвачена между стенками. Ее импульс или скорость существенно неопределенны, что проявляется в увеличении энергии, причем это увеличение в точности совпадает с тем значением, которое получается из строгого решения уравнения Шредингера.

Этот весьма общий результат имеет особенно важные следствия в том разделе квантовой теории, который соответствует классической кинетической теории, т. е. в квантовой статистике. Широко известно, что температура системы, как утверждает кинетическая теория, определяется внутренним движением составляющих систему атомов. Если температура квантовой системы высока, то нечто весьма похожее на это действительно имеет место. Однако при низких температурах квантовые системы не могут прийти к абсолютному покою. Минимальная температура соответствует наинизшему из возможных состояний данной системы. В классическом случае все частицы находятся в покое, а в квантовом - энергия частиц определяется из выражения (41.17), что не соответствует покою частиц.

Из всего сказанного может создаться впечатление, что мы уделяем слишком много внимания электронам, заключенным между двумя стенками. Наше внимание к электронам вполне оправдано. А к стенкам? Если проанализировать все рассмотренные ранее случаи, то можно убедиться в том, что вид силовой системы, будь то сосуд или что-нибудь иное, удерживающей электрон в ограниченной области пространства, не так уже существен.

Две стенки, центральная сила или различные препятствия (фиг. 128) приводят к примерно одинаковым результатам. Не столь уж важен вид конкретной системы, которая удерживает электрон. Гораздо важнее, что электрон вообще захвачен, т. е. его волновая функция локализована. В результате эта функция представляется в виде суммы периодических волн и импульс частицы становится неопределенным, причем

Проанализируем теперь с помощью принципа неопределенности одно типично волновое явление, а именно расширение волны после прохождения ею небольшого отверстия (фиг. 129). Это явление мы уже разбирали геометрическим способом, вычисляя расстояния, на

которых горбы пересекаются с впадинами., В том, что теперь результаты окажутся сходными, нет ничего удивительного. Просто одна и та же теоретическая модель описывается разными словами. Допустим, что электрон попадает в отверстие в экране, двигаясь слева направо. Нас интересует неопределенность положения и скорости электрона в направлении х (перпендикулярном направлению движения). (Соотношение неопределенности выполняется для каждого из трех направлений в отдельности: Ах-Архжк,

Обозначим ширину щели через эта величина является максимальной погрешностью определения положения электрона в направлении х, когда он проходил через отверстие, чтобы проникнуть за экран. Отсюда мы можем найти неопределенность импульса или скорости частицы в направлении я:

Следовательно, если мы допускаем, что электрон проходит сквозь отверстие в экране шириной мы должны признать, что его скорость при этом станет неопределенной с точностью до величины

В отличие от классической частицы квантовая не может, пройдя сквозь отверстие, дать на экране четкое изображение.

Если она движется со скоростью в направлении экрана, а расстояние между экраном и отверстием равно то она пройдет это расстояние за время

За это время частица сместится в направлении х на величину

Угловой разброс определяется как отношение величины смещения к длине

Таким образом, угловой разброс (интерпретируемый как половина углового расстояния до первого дифракционного минимума) равен длине волны, деленной на ширину отверстия, что совпадает с результатом, полученным ранее для света.

А что можно сказать об обычных массивных частицах? Являются ли они квантовыми частицами или частицами ньютоновского типа? Следует ли пользоваться механикой Ньютона в случае объектов обычных размеров и квантовой механикой в случае объектов, размеры которых малы? Мы можем считать все частицы, все тела (даже Землю) квантовыми. Однако, если размеры и масса частицы соизмеримы с размерами и массами, которые обычно наблюдаются в макроскопических явлениях, то квантовые эффекты - волновые свойства, неопределенности положения и скорости - становятся слишком малыми, чтобы быть обнаружимыми в обычных условиях.

Рассмотрим, например, частицу, о которой мы говорили выше. Допустим, что эта частица - металлический шарик от подшипника с массой в одну тысячную грамма (очень маленький шарик). Если мы локализуем его положение с точностью, доступной нашему зрению, в поле микроскопа, скажем с точностью до одной тысячной сантиметра, то локализованного на длине см, неопределенность скорости оказывается слишком маленькой величиной, чтобы быть обнаруженной при обычных наблюдениях.

Соотношения неопределенности Гейзенберга связывают не только положение и импульс системы, но и другие ее параметры, которые в классической теории считались независимыми. Одним из наиболее интересных и полезных для наших целей соотношений является связь между неопределенностями энергии и времени. Обычно ее записывают в виде

Если система находится в определенном состоянии в течение длительного промежутка времени, то энергия этой системы известна с большой точностью; если же она находится в этом состоянии в течение очень короткого интервала времени, то ее энергия становится неопределенной; этот факт точно описывается соотношением, приведенным выше.

Это соотношение обычно применяют при рассмотрении перехода квантовой системы из одного состояния в другое. Допустим, например, что время жизни какой-то частицы равно , т. е. между моментом рождения этой частицы и моментом ее распада проходит время порядка с. Тогда максимальная точность, с которой может быть известна энергия этой частицы, равна

что составляет весьма небольшую величину. Как мы увидим позднее, существуют так называемые элементарные частицы, время жизни которых порядка с (время между моментом рождения частицы и моментом ее аннигиляции). Таким образом, промежуток времени, в течение которого частица находится в определенном состоянии, очень мал, и неопределенность энергии оценивается как

Эта величина, 4-106 эВ (миллион электронвольт кратко обозначается символом МэВ), огромна; вот почему, как мы увидим позже, таким элементарным частицам, иногда называемым резонансами, приписывают не точное значение энергии, а целый спектр значений в довольно широком диапазоне.

Из соотношения (41.28) можно также получить так называемую естественную ширину уровней квантовой системы. Если, например, атом переходит с уровня 1 на уровень 0 (фиг. 130), то энергию уровня

Тогда разброс значений энергии этого уровня определяется из выражения:

Это типичная естественная ширина энергетических уровней атомной системы.

Принцип неопределенности является фундаментальным законом микромира. Его можно считать частным выражением принципа дополнительности.

В классической механике частица движется по определенной траектории, и в любой момент времени возможно точно определить ее координаты и ее импульс. Относительно микрочастицы такое представление неправомерно. Микрочастица не имеет четко выраженной траектории, она обладает и свойствами частицы, и свойствами волны (корпускулярно‑волновой дуализм). В этом случае понятие «длина волны в данной точке» не имеет физического смысла, а поскольку импульс микрочастицы выражается через длину волны – p =к/ л, то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату, и наоборот.

В. Гейзенберг (1927 г.), учитывая двойственную природу микрочастиц, пришел к выводу, что невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать микрочастицу и координатами, и импульсом.

Соотношениями неопределенностей Гейзенберга называются неравенства:

Δx · Δp x ≥ h, Δy · Δp y ≥ h, Δz · Δp z ≥ h.

Здесь Δx, Δy, Δz означают интервалы координат, в которых может быть локализована микрочастица (эти интервалы и есть неопределенности координат), Δp x , Δp y , Δp z означают интервалы проекций импульса на координатные осиx, y, z, h – постоянная Планка. Согласно принципу неопределенностей, чем точнее фиксируется импульс, тем значительнее будет неопределенность по координате, и наоборот.

Принцип соответствия

По мере развития науки, углубления накопленных знаний новые теории становятся более точными. Новые теории охватывают все более широкие горизонты материального мира и проникают в ранее неизведанные глубины. Динамические теории сменяются статическими.

Каждая фундаментальная теория имеет определенные границы применимости. Поэтому появление новой теории не означает полного отрицания старой. Так, движение тел в макромире со скоростями значительно меньшими, чем скорость света, всегда будет описываться классической механикой Ньютона. Однако при скоростях, соизмеримых со скоростью света (релятивистских скоростях), механика Ньютона неприменима.

Объективно имеет место преемственность фундаментальных физических теорий. Это и есть принцип соответствия, который можно сформулировать следующим образом: никакая новая теория не может быть справедливой, если она не содержит в качестве предельного случая старую теорию, относящуюся к тем же явлениям, поскольку старая теория уже оправдала себя в своей области.

3.4. Понятие о состоянии системы. Лапласовский детерминизм

В классической физике система понимается как совокупность каких‑то частей, связанных между собой определенным образом. Эти части (элементы) системы могут воздействовать друг на друга, и предполагается, что их взаимовоздействие всегда может оцениваться с позиций причинно‑следственных отношений между взаимодействующими элементами системы.

Философское учение об объективности закономерной взаимосвязи и взаимообусловленности явлений материального и духовного мира называют детерминизмом. Центральным понятием детерминизма является положение о существованиипричинности; причинность имеет место, когда одно явление порождает другое явление (следствие).

Классическая физика стоит на позициях жесткого детерминизма, который называют лапласовским, – именно Пьер Симон Лаплас провозгласил принцип причинности как фундаментальный закон природы. Лаплас считал, что если известно расположение элементов (каких‑то тел) системы и действующие в ней силы, то можно с полной достоверностью предсказать, как будет двигаться каждое тело этой системы сейчас и в будущем. Он писал: «Мы должны рассматривать существующее состояние Вселенной как следствие предыдущего состояния и как причину последующего. Ум, который в данный момент знал бы все силы, действующие в природе, и относительное положение всех составляющих ее сущностей, если бы он еще был столь обширен, чтобы ввести в расчет все эти данные, охватил бы одной и той же формулой движения крупнейших тел Вселенной и легчайших атомов. Ничто не было бы для него недостоверным, и будущее, как и прошедшее, стояло бы перед его глазами». Традиционно это гипотетическое существо, которое могло бы (по Лапласу) предсказать развитие Вселенной, в науке называют «демоном Лапласа».

В классический период развития естествознания утверждается представление о том, что только динамические законы полностью характеризуют причинность в природе.

Лаплас пытался объяснить весь мир, в том числе физиологические, психологические, социальные явления с точки зрения механистического детерминизма, который он рассматривал как методологический принцип построения всякой науки. Образец формы научного познания Лаплас видел в небесной механике. Таким образом, лапласовский детерминизм отрицает объективную природу случайности, понятие вероятности события.

Дальнейшее развитие естествознания привело к новым представлениям причинности и следствия. Для некоторых природных процессов трудно определить причину – например, радиоактивный распад происходит случайно. Нельзя однозначно связать время «вылета» α– или β‑частицы из ядра и значение ее энергии. Подобные процессы объективно случайны. Особенно много таких примеров в биологии. В нынешнем естествознании современный детерминизм предлагает разнообразные, объективно существующие формы взаимосвязи процессов и явлений, многие из которых выражаются в виде соотношений, не имеющих выраженных причинных связей, то есть не содержащих в себе моментов порождения одного другим. Это и пространственно‑временные связи, отношения симметрии и определенных функциональных зависимостей, вероятностные соотношения и т. д. Однако все формы реальных взаимодействий явлений образуются на основе всеобщей действующей причинности, вне которой не существует ни одного явления действительности, в том числе и так называемых случайных явлений, в совокупности которых проявляются статические законы.

Наука продолжает развиваться, обогащается новыми концепциями, законами, принципами, что свидетельствует об ограниченности лапласовского детерминизма. Однако классическая физика, в частности классическая механика, имеет и сегодня свою нишу применения. Ее законы вполне применимы для относительно медленных движений, скорость которых значительно меньше скорости света. Значение классической физики в современный период хорошо определил один из создателей квантовой механики Нильс Бор: «Как бы далеко ни выходили явления за рамки классического физического объяснения, все опытные данные должны описываться при помощи классических понятий. Обоснование этого состоит просто в констатации точного значения слова «эксперимент». Словом «эксперимент» мы указываем на такую ситуацию, когда мы можем сообщать другим, что именно мы сделали и что именно мы узнали. Поэтому экспериментальная установка и результаты наблюдений должны описываться однозначным образом на языке классической физики».