Пример применения основного закона динамики поступательного движения. Основной закон динамики поступательного движения. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

В математике показывается, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы, обозначаемые символами или . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела; - вектор элементарного поворота тела - является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.

При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 6). При этом радиус-вектор R , направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время Dt на некоторый угол Dj . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности; 360 о = 2p рад.

Направление угловой скорости задается правилом правого винта : вектор угловой скорости сонаправлен с вектором , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности.

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

В векторной форме .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt:

При ускоренном движении вектор параллелен (рис. 7), при замедленном – противонаправлен (рис. 8).

Угловое ускорение возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.

Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:

Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

Типы вращательного движения:

а) переменное – движение, при котором изменяются и :

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения .

Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

За один оборот: ,

, .

Законы Ньютона. Основное уравнение динамики поступательного движения.

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .

ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.

Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.

Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что , поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы .

Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ

Динамика изучает движение тел с учетом тех причин (взаимодействий между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные И. Ньютоном в XVII в. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается совпадением с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния объединяются тем, что ускорение тела равно нулю.

Учитывая, что характер движения зависит от выбора системы отсчета͵ следует сделать вывод, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета͵ в которой выполняется первый закон Ньютона, принято называть инерциальной. Сам закон называют законом инерции. Система отсчета͵ в которой первый закон Ньютона не выполняется, принято называть неинерциальной. Любая система отсчета͵ движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, также является системой инерциальной. По этой причине инерциальных систем существует бесконечное множество.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения принято называть инертностью (инерцией). Мерой инертности тела является его масса m . Она не зависит от скорости движения тела. За единицу массы принят килограмм (кг) - масса эталонного тела.

В случае если состояние движения тела или его форма и размеры меняются, то говорят, что на тело действуют другие тела. Мерой взаимодействия тел служит сила . Всякая сила проявляется как результат действия одного тела на другое, сводящийся к появлению у тела ускорения или его деформации.

Второй закон Ньютона: результирующая сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:

Так как масса является скаляром, то из формулы (6.1) следует, что .

На основании этого закона вводится единица силы - ньютон (Н): .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Заменим ускорение в уравнении (6.1) производной скорости по времени:

Векторная величина

принято называть импульсом тела .

Из формулы (6.3) следует, что направление вектора импульса совпадает с направлением скорости. Единица импульса - килограмм-метр на секунду (кг×м/c).

Объединяя выражения (6.2) и (6.3), получаем

Полученное выражение позволяет предложить более общую формулировку второго закона Ньютона: действующая на тело сила равна производной импульса по времени .

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия (рис. 6.1). В случае если тело действует на тело с некоторой силой , то и тело в свою очередь действует на тело с силой .

Третий закон Ньютона формулируется следующим образом: взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Эти силы, приложенные к разным телам, действуют по одной прямой и являются силами одной природы. Математическое выражение третьего закона Ньютона имеет вид

Знак "-" в формуле (6.5) означает, что векторы сил противоположны по направлению.

В формулировке самого Ньютона третий закон гласит: "Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - действия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны".

Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материального объекта (точки, тела) под действием приложенных к нему сил.
В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых находятся на основе второго закона Ньютона. Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные Кеплером на основании результатов наблюдений законы движений планет, Ньютон доказал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем.
Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том, чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения (уравнение движения). Для решения этих задач необходимо знать начальные условия, т.е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примерами таких задач являются следующие: а) по величине и направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола и действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полета, время движения до цели; б) по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти время движения и путь до остановки.
Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела) :

Где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В международной системе (СИ) k =1, поэтому

(2.4)

Второй закон Ньютона обычно записывается в следующей форме:

или

(2.5)

Вектор mv=p называется импульсом или количеством движения . В отличие от ускорения и скорости, импульс является характеристикой движущегося тела, отражающей не только кинематическую меру движения (скорость), но и его важнейшее динамическое свойство – массу.

Таким образом, можно записать:

(2.6)

Выражение (2.6) является более общей формулировкой второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе .
Это уравнение называется уравнением движения материальной точки .
Единица силы в системе СИ – ньютон (Н):
1 Н – это сила, которая телу массой в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг*1 м/с 2 .
При действии на материальную точку нескольких сил справедлив принцип независимости действия сил : если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было:

где сила называется равнодействующей сил или результирующей силой .
Таким образом, если на тело действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под силой F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго закона: в случае равенства нулю равнодействующей силы ускорение также равно нулю, т.е. тело находится в покое или движется равномерно.

Уравнение динамики поступательного движения тела:

где m – масса тела, – его ускорение,
– сумма всех действующих на тело сил.

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость:
.

Закон изменения импульса:

=
.

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA = F s ds = Fds cosα,

где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

A =
.

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени: N = .

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

N =
.

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

где m – масса тела, υ – его скорость.

Потенциальная энергия тела

– в однородном поле тяжести:

E п = mgh

(m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

– в поле упругих сил:

E п =

(k – коэффициент жесткости упругого тела, x – смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс системы не меняется в процессе ее движения:

Σ = const.

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = E k + E п = const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела: A conp = E 1 – E 2 .

Примеры решения задач

Задача 5

Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

Решение

Разрежем мысленно канат в месте сгиба и соединим обе части невесомой нерастяжимой нитью. Когда канат только начнёт скользить, все силы уравновесятся (так как он движется ещё без ускорения), а сила трения достигает величины силы трения скольжения, F тр = μΝ .

Условия равновесия сил:

mg = N

F тр = T

mg = T m

Отсюда: μmg = mg ,

Задача 6

Невесомый блок укреплён на вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α =30 о. Тела А и В равной массы m 1 = m 2 =1кг соединены нитью. Найти: 1) ускорение, с которым движутся тела, 2) натяжение нити. Трением в блоке и трением тела В о наклонную плоскость пренебречь.

Решение

x y Запишем уравнения движения обоих тел:

А: m = m +

x x x В: m = m + +

В проекциях для тела А:

– ma = T –mg (3)

Для тела В по оси х :

– ma = –T + mg sin  (4)

0 = N – mg cos  (5)

Если сложить уравнения (3) и (4), то получим:

–2ma = – mg + mg sin , или

a = g

Подставив это значение, например, в уравнение (3) (можно в (4)), получаем: T = mg – ma = mg

Подставляем числовые значения:

a = 9,8 = = 2,45

T = 1 ∙ 9,8 = 7,35 H

Задача 7

Вагон массой 20 т, двигавшийся равномерно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время остановился. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти: 1) работу сил трения; 2) расстояние, которое вагон пройдёт до остановки.

Решение

Работа равна приращению кинетической энергии тела:

A тр = 0 – = – ,

Знак «–» означает, что работа сил трения отрицательна, так как силы трения направлены против движения.

С другой стороны, работу силы трения можно рассчитать через произведение силы на путь:

A тр = F тр. S ,

отсюда S = =

Подставив числовые значения:

m = 2 . 10 4 кг, F тр = 6 . 10 3 Н, υ = 15 ,

A тр =
= 2,25 . 10 6 Дж = 2,25 МДж,

S =
= 358 м.

Задача 8

Камень бросили под углом α = 60 о к горизонту со скоростью υ 0 =15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Выберем ось х – по горизонтали, а ось у – по вертикали.

Проекции скорости:

υ x = υ 0 cos , (6)

υ о υ y = υ 0 sin  – gt (7)

 x В момент времени t модуль скорости определится из соотношения:

υ 2 = υ 0 2 cos 2 + (υ 0 sin  – gt ) 2 = υ 0 2 – 2 υ 0 gt sin  + g 2 t 2 .

Высота камня над поверхностью земли в момент времени t определяется из соотношения:

h = υ 0 sin  - . (8)

Находим кинетическую, потенциальную и полную энергию в момент времени t :

E k = = ( υ 0 2 – 2 υ 0 gt sin  + g 2 t 2),

E п = mgh = (2 υ 0 gt sin  – g 2 t 2),

E = E k + E п = .

В высшей точке траектории υ y = 0. Этой точки камень достигает за время =
(из (7)), и максимальная высота подъёмаh max =
(из (8)).

E k = =
,

E п = mgh max =
,

E = E k + E п = .

Подставляем числовые значения. В момент времени t = 1 c.

E k = 17,4 Дж, E п = 5,1 Дж, E = 22,5 Дж.

В высшей точке траектории:

E k = 16,9 Дж, E п = 5,6 Дж, E = 22,5 Дж.

Задача 9

На рельсах стоит платформа массой m 1 = 10 т, на платформе закреплено орудие массой m 2 = 5 т, из которого проводится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3 = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия υ 0 = 500 м/с. Определить скорость υ x платформы в первый момент времени, если: 1) платформа стояла неподвижно, 2) платформа двигалась со скоростью υ 1 = 18км/ч, и выстрел был произведён в направлении её движения, 3) платформа двигалась со скоростью υ 1 = 18 км/ч, и выстрел был произведён в направлении, противоположном её движению.

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы до какого-либо события (в данном случае выстрела) должен быть равен её импульсу после события. За положительное выбираем направление скорости снаряда. До выстрела вся система имела импульс (m 1 +m 2 +m 3)υ 1 , после выстрела платформа с орудием движутся со скоростью υ x , их импульс (m 1 +m 2)υ x , а снаряд относительно земли движется со скоростью υ 0 + υ 1 , его импульс m 3 (υ 0 +υ 1). Закон сохранения импульса записывается так:

(m 1 + m 2 + m 3) υ 1 = (m 1 + m 2) υ x + m 3 (υ 0 + υ 1),

отсюда υ x =
=υ 1 –
υ 0 .

Подставляем значения масс, υ 1 и υ 0:

1) υ 1 = 0

υ x = – 3,33 м/с.

Знак минус означает, что платформа с орудием движется противоположно направлению движения снаряда;

2) υ 1 = 18 км/ч = 5 м/с,

υ x = 5 – 3,33 = 1,67 м/с.

Платформа с орудием продолжает двигаться в направлении выстрела, но с меньшей скоростью;

3) υ 1 = – 18 км/ч = – 5 м/с

υ x = – 5 – 3,33 = – 8,33 м/с.

Скорость платформы, двигавшейся в направлении, противоположном направлению выстрела, увеличивается.

Задача 10

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 10 о.

Решение.

Если пуля застревает в шаре, то удар

абсолютно неупругий, и выполняется только закон сохранения импульса. До удара пуля имела импульс m υ , шар импульса не имел. Непосредственно после удара пуля с шаром имеют общую скорость υ 1 , их импульс (M + m ) υ 1 .

Закон сохранения импульса:

m υ = (M + m ) υ 1 ,

отсюда υ 1 =
υ.

Шар вместе с пулей в момент удара приобрёл кинетическую энергию:

E k =
υ 1 2 =

υ 2 =
.

За счёт этой энергии шар поднялся на высоту h , при этом его кинетическая энергия переходит в потенциальную:

E k = E п 
= (M + m ) gh . (9)

Высоту h можно выразить через расстояние от точки подвеса до центра шара и угол отклонения от вертикали

h = L – L cos  = L (1 – cos ).

Подставив последнее выражение в соотношение (9), получим:

L
= gL (1 – cos ),

h и определим скорость пули:

υ =
.

Подставив числовые значения, получим:

υ = 1001
 543 м/с.

Задача 11

Камень, привязанный к верёвке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями верёвки равны 9,8 Н.

Решение

В верхней точке траектории и сила тяжести, и
сила натяжения верёвки направлены вниз.

L Уравнение движения в верхней точке имеет вид:

L ma n = m = mg + T 1 .

В нижней точке траектории сила тяжести направлена вниз, а сила натяжения верёвки и нормальное ускорение вверх. Уравнение движения в нижней точке:

ma n = m = T 2 – mg .

По условию камень вращается с постоянной скоростью, поэтому левые части обоих уравнений одинаковы. Значит, можно приравнять правые части:

mg + T 1 = T 2 – mg ,

отсюда T 2 – T 1 = 2mg ,

m =
.

Подставляем числа: m = = 0,5 кг.

Задача 12

Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?

Решение

Сила, действующая на автомобиль, складывается

из силы тяжести
и силы нормального давления. Сумма этих сил обусловливает нормальное ускорение автомобиля при повороте.

Из треугольника сил видно, что: =tg .

Рассчитаем a n , сократив массу

= tg ,

отсюда υ =
=41,5 м/с.

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что m и =m г, поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы . Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

II закон. Ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе, обратно пропорционально ее массе и совпадает по направлению с действующей силой.

Где - равнодействующая сила.

Силу можно выразить формулой